Kapitel 2 – Digitale Grundlagen
- 2.1 Zahlensysteme
- 2.2 Binärsystem
- 2.3 Oktalsystem
- 2.4 Hexadezimalsystem
- 2.5 Umrechnung von Zahlensystemen
- 2.6 Bit und Byte
- 2.7 SI- und Binärpräfixe
- 2.8 ASCII
- 2.9 Unicode
- 2.10 Datendarstellung
- 2.11 Einerkomplement
- 2.12 Zweierkomplement
- 2.13 Gleitkommazahlen
2.1 Zahlensysteme
Definition
Ein Zahlensystem beschreibt, wie Zahlen mit bestimmten Zeichen dargestellt werden.
In der Informationstechnik sind vor allem Stellenwertsysteme wichtig.
Wichtige Zahlensysteme
| Zahlensystem | Basis | Ziffern |
|---|---|---|
| Dezimalsystem | 10 | 0–9 |
| Binärsystem | 2 | 0–1 |
| Oktalsystem | 8 | 0–7 |
| Hexadezimalsystem | 16 | 0–9 und A–F |
Dezimalsystem
Das Dezimalsystem ist das im Alltag verwendete Zahlensystem.
- Basis: 10
- Ziffern: 0 bis 9
Binärsystem
Das Binärsystem wird in der Digitaltechnik verwendet.
- Basis: 2
- Ziffern: 0 und 1
Hexadezimalsystem
Das Hexadezimalsystem wird häufig zur kompakten Darstellung von Binärzahlen verwendet.
- Basis: 16
- Ziffern: 0 bis 9 und A bis F
Merksatz
- Computer arbeiten intern mit Binärzahlen.
- Menschen verwenden meist Dezimalzahlen.
- Hexadezimalzahlen sind eine kompakte Schreibweise für Binärzahlen.
Prüfungshinweis
In IHK-Aufgaben müssen häufig Zahlen zwischen Dezimal, Binär und Hexadezimal umgerechnet werden.
Quellen
- IT-Handbuch für Fachinformatiker
2.2 Binärsystem
Definition
Das Binärsystem ist ein Zahlensystem mit der Basis 2.
Es verwendet nur zwei Ziffern:
- 0
- 1
Bedeutung
Das Binärsystem ist die Grundlage der digitalen Datenverarbeitung.
Computer arbeiten intern mit zwei Zuständen:
| Zustand | Bedeutung |
|---|---|
| 0 | aus / falsch / kein Signal |
| 1 | ein / wahr / Signal |
Stellenwerte
Im Binärsystem haben die Stellen die Werte von Zweierpotenzen.
| Stelle | Wert |
|---|---|
| 2⁷ | 128 |
| 2⁶ | 64 |
| 2⁵ | 32 |
| 2⁴ | 16 |
| 2³ | 8 |
| 2² | 4 |
| 2¹ | 2 |
| 2⁰ | 1 |
Beispiel
Binärzahl:
1010₂
Berechnung:
8 + 0 + 2 + 0 = 10₁₀
Merksatz
Binärzahlen bestehen nur aus 0 und 1.
Prüfungshinweis
Bei Umrechnungen immer von rechts nach links mit 2⁰ beginnen.
Quellen
- IT-Handbuch für Fachinformatiker
2.3 Oktalsystem
Definition
Das Oktalsystem ist ein Zahlensystem mit der Basis 8.
Es verwendet acht Ziffern:
- 0
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
- 6
- 7
Bedeutung
Das Oktalsystem wird in der Informatik seltener verwendet als das Binär- oder Hexadezimalsystem.
Es kann zur kompakten Darstellung von Binärzahlen genutzt werden.
Stellenwerte
Im Oktalsystem haben die Stellen die Werte von Achterpotenzen.
| Stelle | Wert |
|---|---|
| 8³ | 512 |
| 8² | 64 |
| 8¹ | 8 |
| 8⁰ | 1 |
Beispiel
Oktalzahl:
17₈
Berechnung:
1 × 8 + 7 × 1 = 15₁₀
Binärbezug
Eine Oktalstelle entspricht genau 3 Bit.
| Oktal | Binär |
|---|---|
| 0 | 000 |
| 1 | 001 |
| 2 | 010 |
| 3 | 011 |
| 4 | 100 |
| 5 | 101 |
| 6 | 110 |
| 7 | 111 |
Merksatz
Das Oktalsystem hat die Basis 8 und verwendet nur die Ziffern 0 bis 7.
Prüfungshinweis
Die Ziffer 8 gibt es im Oktalsystem nicht. Wenn eine Zahl eine 8 oder 9 enthält, kann sie keine gültige Oktalzahl sein.
Quellen
- IT-Handbuch für Fachinformatiker
2.4 Hexadezimalsystem
Definition
Das Hexadezimalsystem ist ein Zahlensystem mit der Basis 16.
Es verwendet sechzehn Zeichen:
- 0 bis 9
- A bis F
Hexadezimale Ziffern
| Dezimal | Hexadezimal |
|---|---|
| 10 | A |
| 11 | B |
| 12 | C |
| 13 | D |
| 14 | E |
| 15 | F |
Bedeutung
Das Hexadezimalsystem wird häufig verwendet, um Binärzahlen kürzer und übersichtlicher darzustellen.
Typische Anwendungen:
- Speicheradressen
- MAC-Adressen
- IPv6-Adressen
- Farbwerte
- Maschinencode
Stellenwerte
Im Hexadezimalsystem haben die Stellen die Werte von Sechzehnerpotenzen.
| Stelle | Wert |
|---|---|
| 16³ | 4096 |
| 16² | 256 |
| 16¹ | 16 |
| 16⁰ | 1 |
Beispiel
Hexadezimalzahl:
1A₁₆
Berechnung:
1 × 16 + 10 × 1 = 26₁₀
Binärbezug
Eine Hexadezimalstelle entspricht genau 4 Bit.
| Hex | Binär |
|---|---|
| 0 | 0000 |
| 1 | 0001 |
| 2 | 0010 |
| 3 | 0011 |
| 4 | 0100 |
| 5 | 0101 |
| 6 | 0110 |
| 7 | 0111 |
| 8 | 1000 |
| 9 | 1001 |
| A | 1010 |
| B | 1011 |
| C | 1100 |
| D | 1101 |
| E | 1110 |
| F | 1111 |
Merksatz
Das Hexadezimalsystem hat die Basis 16. Eine Hexadezimalstelle entspricht 4 Bit.
Prüfungshinweis
A bis F stehen für die Dezimalwerte 10 bis 15. Die Ziffernfolge 10₁₆ entspricht nicht zehn, sondern 16₁₀.
Quellen
- IT-Handbuch für Fachinformatiker
2.5 Umrechnung von Zahlensystemen
Definition
Bei der Umrechnung von Zahlensystemen wird eine Zahl von einem Zahlensystem in ein anderes übertragen.
Wichtige Zahlensysteme:
- Dezimalsystem
- Binärsystem
- Oktalsystem
- Hexadezimalsystem
Dezimal in Binär
Die Dezimalzahl wird wiederholt durch 2 geteilt.
Die Reste werden von unten nach oben gelesen.
Beispiel
13₁₀ = 1101₂
Binär in Dezimal
Die Stellenwerte der gesetzten Bits werden addiert.
Beispiel
1101₂
8 + 4 + 0 + 1 = 13₁₀
Binär in Hexadezimal
Die Binärzahl wird von rechts nach links in 4er-Gruppen eingeteilt.
Beispiel
1101₂ = D₁₆
1111 0000₂ = F0₁₆
Hexadezimal in Binär
Jede Hexadezimalstelle wird in 4 Bit umgewandelt.
Beispiel
A₁₆ = 1010₂
F₁₆ = 1111₂
Oktal und Binär
Eine Oktalstelle entspricht genau 3 Bit.
Beispiel
7₈ = 111₂
Merksatz
- Binär ↔ Hexadezimal: immer in 4 Bit gruppieren.
- Binär ↔ Oktal: immer in 3 Bit gruppieren.
- Dezimal ↔ anderes System: mit der Basis rechnen.
Prüfungshinweis
Bei IHK-Aufgaben werden besonders häufig Binär, Dezimal und Hexadezimal umgerechnet.
Typische Fehler:
- Reste in falscher Reihenfolge lesen.
- 4er-Gruppen beim Hexadezimalsystem falsch setzen.
- A bis F falsch zuordnen.
- Fehlende Nullen beim Gruppieren vergessen.
Quellen
- IT-Handbuch für Fachinformatiker
2.6 Bit und Byte
Definition
Ein Bit ist die kleinste Informationseinheit in der Informatik.
Ein Bit kann zwei Zustände annehmen:
- 0
- 1
Ein Byte besteht aus 8 Bit.
Einheiten
| Einheit | Bedeutung |
|---|---|
| Bit | kleinste Informationseinheit |
| Byte | 8 Bit |
| Kilobyte | 1.000 Byte |
| Megabyte | 1.000 Kilobyte |
| Gigabyte | 1.000 Megabyte |
| Terabyte | 1.000 Gigabyte |
Bit und Byte
| Schreibweise | Bedeutung |
|---|---|
| b | Bit |
| B | Byte |
Beispiel
1 Byte = 8 Bit
10 Byte = 80 Bit
100 MBit/s = 12,5 MB/s
Merksatz
- b = Bit
- B = Byte
- 1 Byte = 8 Bit
Prüfungshinweis
In IHK-Aufgaben wird häufig zwischen Bit und Byte unterschieden.
Typische Fehler:
- MBit/s mit MB/s verwechseln.
- Kleines b und großes B verwechseln.
- Bei Datenraten die Umrechnung durch 8 vergessen.
Quellen
- IT-Handbuch für Fachinformatiker
2.7 SI- und Binärpräfixe
Definition
Präfixe werden verwendet, um große Datenmengen kompakt darzustellen.
In der Informationstechnik wird zwischen SI-Präfixen und Binärpräfixen unterschieden.
SI-Präfixe
SI-Präfixe basieren auf dem Dezimalsystem.
| Einheit | Abkürzung | Wert |
|---|---|---|
| Kilobyte | kB | 1.000 Byte |
| Megabyte | MB | 1.000.000 Byte |
| Gigabyte | GB | 1.000.000.000 Byte |
| Terabyte | TB | 1.000.000.000.000 Byte |
Binärpräfixe
Binärpräfixe basieren auf Zweierpotenzen.
| Einheit | Abkürzung | Wert |
|---|---|---|
| Kibibyte | KiB | 1.024 Byte |
| Mebibyte | MiB | 1.048.576 Byte |
| Gibibyte | GiB | 1.073.741.824 Byte |
| Tebibyte | TiB | 1.099.511.627.776 Byte |
Vergleich
| Dezimal | Binär |
|---|---|
| kB = 1.000 Byte | KiB = 1.024 Byte |
| MB = 1.000² Byte | MiB = 1.024² Byte |
| GB = 1.000³ Byte | GiB = 1.024³ Byte |
| TB = 1.000⁴ Byte | TiB = 1.024⁴ Byte |
Merksatz
- kB, MB, GB, TB = dezimal
- KiB, MiB, GiB, TiB = binär
- 1 Byte = 8 Bit
Prüfungshinweis
In IHK-Aufgaben genau auf die Einheit achten.
Typische Fehler:
- GB mit GiB verwechseln.
- MB mit MiB verwechseln.
- Bit und Byte verwechseln.
- Umrechnung durch 8 vergessen.
Quellen
- IT-Handbuch für Fachinformatiker
- IEC 60027-2
2.8 ASCII
Definition
ASCII steht für American Standard Code for Information Interchange.
ASCII ist eine Zeichencodierung zur Darstellung von Zeichen in Computersystemen.
Grundprinzip
Jedes Zeichen wird durch eine Zahl dargestellt.
Beispiele:
| Zeichen | Dezimalwert |
|---|---|
| A | 65 |
| B | 66 |
| a | 97 |
| 0 | 48 |
| Leerzeichen | 32 |
Umfang
Der ursprüngliche ASCII-Code verwendet 7 Bit.
Damit können dargestellt werden:
2⁷ = 128 Zeichen
Zeichenarten
ASCII enthält unter anderem:
- Buchstaben
- Ziffern
- Satzzeichen
- Steuerzeichen
Beispiele für Steuerzeichen
| Steuerzeichen | Bedeutung |
|---|---|
| LF | Line Feed / Zeilenvorschub |
| CR | Carriage Return / Wagenrücklauf |
| ESC | Escape |
Merksatz
ASCII ist eine Zeichencodierung mit 7 Bit und umfasst 128 Zeichen.
Prüfungshinweis
ASCII ist nicht dasselbe wie Unicode. ASCII ist kleiner und kann viele internationale Zeichen nicht darstellen.
Quellen
- IT-Handbuch für Fachinformatiker
- ISO/IEC 646
2.9 Unicode
Definition
Unicode ist ein internationaler Standard zur Darstellung von Zeichen.
Unicode kann Zeichen aus vielen verschiedenen Sprachen und Schriftsystemen darstellen.
Bedeutung
Unicode wurde entwickelt, um die Einschränkungen älterer Zeichencodierungen wie ASCII zu überwinden.
ASCII kann nur 128 Zeichen darstellen.
Unicode kann deutlich mehr Zeichen darstellen.
Beispiele für Unicode-Zeichen
| Zeichen | Bedeutung |
|---|---|
| A | lateinischer Großbuchstabe |
| ä | deutscher Umlaut |
| € | Euro-Zeichen |
| Ω | griechischer Buchstabe Omega |
UTF-8
UTF-8 ist eine häufig verwendete Codierung für Unicode-Zeichen.
Eigenschaften:
- kompatibel zu ASCII
- variable Zeichenlänge
- weit verbreitet im Web
Vergleich ASCII und Unicode
| ASCII | Unicode |
|---|---|
| 7 Bit | deutlich größerer Zeichenvorrat |
| 128 Zeichen | viele Schriftsysteme |
| vor allem englische Zeichen | internationale Zeichen |
| keine Umlaute im ursprünglichen ASCII | Umlaute und Sonderzeichen möglich |
Merksatz
Unicode ist ein Standard für internationale Zeichen.
UTF-8 ist eine Codierung für Unicode.
Prüfungshinweis
Unicode und UTF-8 dürfen nicht gleichgesetzt werden.
- Unicode = Zeichensatz / Standard
- UTF-8 = Codierung
Quellen
- IT-Handbuch für Fachinformatiker
- The Unicode Standard
2.10 Datendarstellung
Definition
Datendarstellung beschreibt, wie Informationen in einem Computersystem gespeichert und verarbeitet werden.
Computer speichern Daten intern als Binärwerte.
Grundprinzip
Alle Daten werden im Computer als Folge von 0 und 1 dargestellt.
Dazu gehören:
- Zahlen
- Buchstaben
- Bilder
- Audio
- Programme
Beispiele
| Datentyp | Darstellung im Computer |
|---|---|
| Zahl | Binärzahl |
| Text | Zeichencodierung |
| Bild | Pixelwerte |
| Audio | digitale Abtastwerte |
| Programm | Maschinenbefehle |
Codierung
Damit Daten verarbeitet werden können, müssen sie codiert werden.
Beispiele:
- ASCII
- Unicode
- UTF-8
- Binärzahlen
- Hexadezimalzahlen
Merksatz
Computer verarbeiten intern keine Buchstaben oder Bilder direkt, sondern Binärdaten.
Prüfungshinweis
In IHK-Aufgaben wird häufig gefragt, wie Zeichen, Zahlen oder Datenmengen digital dargestellt werden.
Typische Fehler:
- Zeichen mit Zeichencodierung verwechseln.
- Bit und Byte verwechseln.
- Binärdarstellung und Hexadezimaldarstellung verwechseln.
Quellen
- IT-Handbuch für Fachinformatiker
2.11 Einerkomplement
Definition
Das Einerkomplement ist eine Darstellungsform für negative Binärzahlen.
Dabei werden alle Bits einer positiven Binärzahl umgekehrt.
Grundprinzip
| Bit | Einerkomplement |
|---|---|
| 0 | 1 |
| 1 | 0 |
Beispiel
Positive Binärzahl:
0101
Einerkomplement:
1010
Vorzeichen
Beim Einerkomplement zeigt das höchstwertige Bit das Vorzeichen an.
| Höchstwertiges Bit | Bedeutung |
|---|---|
| 0 | positive Zahl |
| 1 | negative Zahl |
Besonderheit
Beim Einerkomplement gibt es zwei Darstellungen für die Null:
- +0
- -0
Merksatz
Beim Einerkomplement werden alle Bits invertiert.
Prüfungshinweis
Das Einerkomplement ist wichtig als Grundlage zum Verständnis des Zweierkomplements.
Typische Fehler:
- Einerkomplement und Zweierkomplement verwechseln.
- Beim Einerkomplement wird nur invertiert.
- Beim Zweierkomplement wird zusätzlich 1 addiert.
Quellen
- IT-Handbuch für Fachinformatiker
2.12 Zweierkomplement
Definition
Das Zweierkomplement ist eine Darstellungsform für negative Binärzahlen.
Es wird häufig verwendet, um positive und negative ganze Zahlen im Computer darzustellen.
Bildung des Zweierkomplements
- Positive Binärzahl bilden
- Alle Bits invertieren
- 1 addieren
Beispiel
Positive Zahl:
0101
Bits invertieren:
1010
1 addieren:
1011
Vorzeichen
| Höchstwertiges Bit | Bedeutung |
|---|---|
| 0 | positive Zahl |
| 1 | negative Zahl |
Besonderheit
Im Gegensatz zum Einerkomplement gibt es beim Zweierkomplement nur eine Darstellung für die Null.
Merksatz
Zweierkomplement = Einerkomplement + 1
Prüfungshinweis
Das Zweierkomplement wird in IHK-Aufgaben häufig zur Darstellung negativer Binärzahlen verwendet.
Typische Fehler:
- Nur invertieren und die +1 vergessen.
- Einerkomplement und Zweierkomplement verwechseln.
- Das höchstwertige Bit als Vorzeichenbit übersehen.
Quellen
- IT-Handbuch für Fachinformatiker
2.13 Gleitkommazahlen
Definition
Gleitkommazahlen sind Zahlen mit Nachkommastellen.
Sie werden verwendet, wenn sehr kleine oder sehr große Zahlen dargestellt werden müssen.
Beispiele
- 3,14
- 0,0005
- 1.000.000
- -12,75
Grundprinzip
Eine Gleitkommazahl besteht vereinfacht aus:
| Bestandteil | Bedeutung |
|---|---|
| Vorzeichen | positiv oder negativ |
| Mantisse | eigentliche Ziffernfolge |
| Exponent | Verschiebung des Kommas |
Bedeutung
Gleitkommazahlen werden häufig verwendet für:
- Messwerte
- wissenschaftliche Berechnungen
- Grafikberechnungen
- Audio- und Bildverarbeitung
Besonderheit
Gleitkommazahlen können Rundungsfehler verursachen, weil nicht jede Dezimalzahl exakt binär dargestellt werden kann.
Merksatz
Gleitkommazahlen dienen zur Darstellung von Zahlen mit Nachkommastellen.
Prüfungshinweis
Gleitkommazahlen sind nicht immer exakt. Bei Berechnungen können Rundungsfehler entstehen.
Typische Fehler:
- Gleitkommazahlen mit Ganzzahlen verwechseln.
- Rundungsfehler nicht beachten.
- Mantisse und Exponent verwechseln.
Quellen
- IT-Handbuch für Fachinformatiker
- IEEE 754