# Kapitel 2 – Digitale Grundlagen # 2.1 Zahlensysteme **Definition** Ein **Zahlensystem** beschreibt, wie Zahlen mit bestimmten Zeichen dargestellt werden. In der Informationstechnik sind vor allem Stellenwertsysteme wichtig. --- **Wichtige Zahlensysteme** | Zahlensystem | Basis | Ziffern | |-------------|------:|---------| | Dezimalsystem | 10 | 0–9 | | Binärsystem | 2 | 0–1 | | Oktalsystem | 8 | 0–7 | | Hexadezimalsystem | 16 | 0–9 und A–F | --- **Dezimalsystem** Das **Dezimalsystem** ist das im Alltag verwendete Zahlensystem. - Basis: 10 - Ziffern: 0 bis 9 --- **Binärsystem** Das **Binärsystem** wird in der Digitaltechnik verwendet. - Basis: 2 - Ziffern: 0 und 1 --- **Hexadezimalsystem** Das **Hexadezimalsystem** wird häufig zur kompakten Darstellung von Binärzahlen verwendet. - Basis: 16 - Ziffern: 0 bis 9 und A bis F --- **Merksatz** - Computer arbeiten intern mit **Binärzahlen**. - Menschen verwenden meist **Dezimalzahlen**. - Hexadezimalzahlen sind eine kompakte Schreibweise für Binärzahlen. --- **Prüfungshinweis** In IHK-Aufgaben müssen häufig Zahlen zwischen **Dezimal**, **Binär** und **Hexadezimal** umgerechnet werden. --- **Quellen** - IT-Handbuch für Fachinformatiker # 2.2 Binärsystem **Definition** Das **Binärsystem** ist ein Zahlensystem mit der Basis **2**. Es verwendet nur zwei Ziffern: - 0 - 1 --- **Bedeutung** Das Binärsystem ist die Grundlage der digitalen Datenverarbeitung. Computer arbeiten intern mit zwei Zuständen: | Zustand | Bedeutung | |--------|-----------| | 0 | aus / falsch / kein Signal | | 1 | ein / wahr / Signal | --- **Stellenwerte** Im Binärsystem haben die Stellen die Werte von Zweierpotenzen. | Stelle | Wert | |-------:|-----:| | 2⁷ | 128 | | 2⁶ | 64 | | 2⁵ | 32 | | 2⁴ | 16 | | 2³ | 8 | | 2² | 4 | | 2¹ | 2 | | 2⁰ | 1 | --- **Beispiel** Binärzahl: **1010₂** Berechnung: 8 + 0 + 2 + 0 = **10₁₀** --- **Merksatz** Binärzahlen bestehen nur aus **0** und **1**. --- **Prüfungshinweis** Bei Umrechnungen immer von rechts nach links mit **2⁰** beginnen. --- **Quellen** - IT-Handbuch für Fachinformatiker # 2.3 Oktalsystem **Definition** Das **Oktalsystem** ist ein Zahlensystem mit der Basis **8**. Es verwendet acht Ziffern: - 0 - 1 - 2 - 3 - 4 - 5 - 6 - 7 --- **Bedeutung** Das Oktalsystem wird in der Informatik seltener verwendet als das Binär- oder Hexadezimalsystem. Es kann zur kompakten Darstellung von Binärzahlen genutzt werden. --- **Stellenwerte** Im Oktalsystem haben die Stellen die Werte von Achterpotenzen. | Stelle | Wert | |-------:|-----:| | 8³ | 512 | | 8² | 64 | | 8¹ | 8 | | 8⁰ | 1 | --- **Beispiel** Oktalzahl: **17₈** Berechnung: 1 × 8 + 7 × 1 = **15₁₀** --- **Binärbezug** Eine Oktalstelle entspricht genau **3 Bit**. | Oktal | Binär | |------:|-------| | 0 | 000 | | 1 | 001 | | 2 | 010 | | 3 | 011 | | 4 | 100 | | 5 | 101 | | 6 | 110 | | 7 | 111 | --- **Merksatz** Das Oktalsystem hat die Basis **8** und verwendet nur die Ziffern **0 bis 7**. --- **Prüfungshinweis** Die Ziffer **8** gibt es im Oktalsystem nicht. Wenn eine Zahl eine 8 oder 9 enthält, kann sie keine gültige Oktalzahl sein. --- **Quellen** - IT-Handbuch für Fachinformatiker # 2.4 Hexadezimalsystem **Definition** Das **Hexadezimalsystem** ist ein Zahlensystem mit der Basis **16**. Es verwendet sechzehn Zeichen: - 0 bis 9 - A bis F --- **Hexadezimale Ziffern** | Dezimal | Hexadezimal | |--------:|-------------| | 10 | A | | 11 | B | | 12 | C | | 13 | D | | 14 | E | | 15 | F | --- **Bedeutung** Das Hexadezimalsystem wird häufig verwendet, um Binärzahlen kürzer und übersichtlicher darzustellen. Typische Anwendungen: - Speicheradressen - MAC-Adressen - IPv6-Adressen - Farbwerte - Maschinencode --- **Stellenwerte** Im Hexadezimalsystem haben die Stellen die Werte von Sechzehnerpotenzen. | Stelle | Wert | |-------:|-----:| | 16³ | 4096 | | 16² | 256 | | 16¹ | 16 | | 16⁰ | 1 | --- **Beispiel** Hexadezimalzahl: **1A₁₆** Berechnung: 1 × 16 + 10 × 1 = **26₁₀** --- **Binärbezug** Eine Hexadezimalstelle entspricht genau **4 Bit**. | Hex | Binär | |----:|-------| | 0 | 0000 | | 1 | 0001 | | 2 | 0010 | | 3 | 0011 | | 4 | 0100 | | 5 | 0101 | | 6 | 0110 | | 7 | 0111 | | 8 | 1000 | | 9 | 1001 | | A | 1010 | | B | 1011 | | C | 1100 | | D | 1101 | | E | 1110 | | F | 1111 | --- **Merksatz** Das Hexadezimalsystem hat die Basis **16**. Eine Hexadezimalstelle entspricht **4 Bit**. --- **Prüfungshinweis** A bis F stehen für die Dezimalwerte **10 bis 15**. Die Ziffernfolge **10₁₆** entspricht nicht zehn, sondern **16₁₀**. --- **Quellen** - IT-Handbuch für Fachinformatiker # 2.5 Umrechnung von Zahlensystemen **Definition** Bei der **Umrechnung von Zahlensystemen** wird eine Zahl von einem Zahlensystem in ein anderes übertragen. Wichtige Zahlensysteme: - Dezimalsystem - Binärsystem - Oktalsystem - Hexadezimalsystem --- **Dezimal in Binär** Die Dezimalzahl wird wiederholt durch **2** geteilt. Die Reste werden von unten nach oben gelesen. **Beispiel** 13₁₀ = 1101₂ --- **Binär in Dezimal** Die Stellenwerte der gesetzten Bits werden addiert. **Beispiel** 1101₂ 8 + 4 + 0 + 1 = 13₁₀ --- **Binär in Hexadezimal** Die Binärzahl wird von rechts nach links in **4er-Gruppen** eingeteilt. **Beispiel** 1101₂ = D₁₆ 1111 0000₂ = F0₁₆ --- **Hexadezimal in Binär** Jede Hexadezimalstelle wird in **4 Bit** umgewandelt. **Beispiel** A₁₆ = 1010₂ F₁₆ = 1111₂ --- **Oktal und Binär** Eine Oktalstelle entspricht genau **3 Bit**. **Beispiel** 7₈ = 111₂ --- **Merksatz** - Binär ↔ Hexadezimal: immer in **4 Bit** gruppieren. - Binär ↔ Oktal: immer in **3 Bit** gruppieren. - Dezimal ↔ anderes System: mit der **Basis** rechnen. --- **Prüfungshinweis** Bei IHK-Aufgaben werden besonders häufig **Binär**, **Dezimal** und **Hexadezimal** umgerechnet. Typische Fehler: - Reste in falscher Reihenfolge lesen. - 4er-Gruppen beim Hexadezimalsystem falsch setzen. - A bis F falsch zuordnen. - Fehlende Nullen beim Gruppieren vergessen. --- **Quellen** - IT-Handbuch für Fachinformatiker # 2.6 Bit und Byte **Definition** Ein **Bit** ist die kleinste Informationseinheit in der Informatik. Ein Bit kann zwei Zustände annehmen: - 0 - 1 Ein **Byte** besteht aus **8 Bit**. --- **Einheiten** | Einheit | Bedeutung | |--------|-----------| | Bit | kleinste Informationseinheit | | Byte | 8 Bit | | Kilobyte | 1.000 Byte | | Megabyte | 1.000 Kilobyte | | Gigabyte | 1.000 Megabyte | | Terabyte | 1.000 Gigabyte | --- **Bit und Byte** | Schreibweise | Bedeutung | |-------------|-----------| | b | Bit | | B | Byte | --- **Beispiel** 1 Byte = 8 Bit 10 Byte = 80 Bit 100 MBit/s = 12,5 MB/s --- **Merksatz** - **b** = Bit - **B** = Byte - **1 Byte = 8 Bit** --- **Prüfungshinweis** In IHK-Aufgaben wird häufig zwischen **Bit** und **Byte** unterschieden. Typische Fehler: - MBit/s mit MB/s verwechseln. - Kleines **b** und großes **B** verwechseln. - Bei Datenraten die Umrechnung durch **8** vergessen. --- **Quellen** - IT-Handbuch für Fachinformatiker # 2.7 SI- und Binärpräfixe **Definition** Präfixe werden verwendet, um große Datenmengen kompakt darzustellen. In der Informationstechnik wird zwischen **SI-Präfixen** und **Binärpräfixen** unterschieden. --- **SI-Präfixe** SI-Präfixe basieren auf dem Dezimalsystem. | Einheit | Abkürzung | Wert | |--------|-----------|------:| | Kilobyte | kB | 1.000 Byte | | Megabyte | MB | 1.000.000 Byte | | Gigabyte | GB | 1.000.000.000 Byte | | Terabyte | TB | 1.000.000.000.000 Byte | --- **Binärpräfixe** Binärpräfixe basieren auf Zweierpotenzen. | Einheit | Abkürzung | Wert | |--------|-----------|------:| | Kibibyte | KiB | 1.024 Byte | | Mebibyte | MiB | 1.048.576 Byte | | Gibibyte | GiB | 1.073.741.824 Byte | | Tebibyte | TiB | 1.099.511.627.776 Byte | --- **Vergleich** | Dezimal | Binär | |--------|-------| | kB = 1.000 Byte | KiB = 1.024 Byte | | MB = 1.000² Byte | MiB = 1.024² Byte | | GB = 1.000³ Byte | GiB = 1.024³ Byte | | TB = 1.000⁴ Byte | TiB = 1.024⁴ Byte | --- **Merksatz** - **kB, MB, GB, TB** = dezimal - **KiB, MiB, GiB, TiB** = binär - **1 Byte = 8 Bit** --- **Prüfungshinweis** In IHK-Aufgaben genau auf die Einheit achten. Typische Fehler: - GB mit GiB verwechseln. - MB mit MiB verwechseln. - Bit und Byte verwechseln. - Umrechnung durch **8** vergessen. --- **Quellen** - IT-Handbuch für Fachinformatiker - IEC 60027-2 # 2.8 ASCII **Definition** **ASCII** steht für **American Standard Code for Information Interchange**. ASCII ist eine Zeichencodierung zur Darstellung von Zeichen in Computersystemen. --- **Grundprinzip** Jedes Zeichen wird durch eine Zahl dargestellt. Beispiele: | Zeichen | Dezimalwert | |---------|------------:| | A | 65 | | B | 66 | | a | 97 | | 0 | 48 | | Leerzeichen | 32 | --- **Umfang** Der ursprüngliche ASCII-Code verwendet **7 Bit**. Damit können dargestellt werden: **2⁷ = 128 Zeichen** --- **Zeichenarten** ASCII enthält unter anderem: - Buchstaben - Ziffern - Satzzeichen - Steuerzeichen --- **Beispiele für Steuerzeichen** | Steuerzeichen | Bedeutung | |--------------|-----------| | LF | Line Feed / Zeilenvorschub | | CR | Carriage Return / Wagenrücklauf | | ESC | Escape | --- **Merksatz** ASCII ist eine Zeichencodierung mit **7 Bit** und umfasst **128 Zeichen**. --- **Prüfungshinweis** ASCII ist nicht dasselbe wie Unicode. ASCII ist kleiner und kann viele internationale Zeichen nicht darstellen. --- **Quellen** - IT-Handbuch für Fachinformatiker - ISO/IEC 646 # 2.9 Unicode **Definition** **Unicode** ist ein internationaler Standard zur Darstellung von Zeichen. Unicode kann Zeichen aus vielen verschiedenen Sprachen und Schriftsystemen darstellen. --- **Bedeutung** Unicode wurde entwickelt, um die Einschränkungen älterer Zeichencodierungen wie **ASCII** zu überwinden. ASCII kann nur **128 Zeichen** darstellen. Unicode kann deutlich mehr Zeichen darstellen. --- **Beispiele für Unicode-Zeichen** | Zeichen | Bedeutung | |---------|-----------| | A | lateinischer Großbuchstabe | | ä | deutscher Umlaut | | € | Euro-Zeichen | | Ω | griechischer Buchstabe Omega | --- **UTF-8** **UTF-8** ist eine häufig verwendete Codierung für Unicode-Zeichen. Eigenschaften: - kompatibel zu ASCII - variable Zeichenlänge - weit verbreitet im Web --- **Vergleich ASCII und Unicode** | ASCII | Unicode | |------|---------| | 7 Bit | deutlich größerer Zeichenvorrat | | 128 Zeichen | viele Schriftsysteme | | vor allem englische Zeichen | internationale Zeichen | | keine Umlaute im ursprünglichen ASCII | Umlaute und Sonderzeichen möglich | --- **Merksatz** Unicode ist ein Standard für internationale Zeichen. UTF-8 ist eine Codierung für Unicode. --- **Prüfungshinweis** Unicode und UTF-8 dürfen nicht gleichgesetzt werden. - **Unicode** = Zeichensatz / Standard - **UTF-8** = Codierung --- **Quellen** - IT-Handbuch für Fachinformatiker - The Unicode Standard # 2.10 Datendarstellung **Definition** **Datendarstellung** beschreibt, wie Informationen in einem Computersystem gespeichert und verarbeitet werden. Computer speichern Daten intern als **Binärwerte**. --- **Grundprinzip** Alle Daten werden im Computer als Folge von **0** und **1** dargestellt. Dazu gehören: - Zahlen - Buchstaben - Bilder - Audio - Programme --- **Beispiele** | Datentyp | Darstellung im Computer | |----------|--------------------------| | Zahl | Binärzahl | | Text | Zeichencodierung | | Bild | Pixelwerte | | Audio | digitale Abtastwerte | | Programm | Maschinenbefehle | --- **Codierung** Damit Daten verarbeitet werden können, müssen sie codiert werden. Beispiele: - ASCII - Unicode - UTF-8 - Binärzahlen - Hexadezimalzahlen --- **Merksatz** Computer verarbeiten intern keine Buchstaben oder Bilder direkt, sondern **Binärdaten**. --- **Prüfungshinweis** In IHK-Aufgaben wird häufig gefragt, wie Zeichen, Zahlen oder Datenmengen digital dargestellt werden. Typische Fehler: - Zeichen mit Zeichencodierung verwechseln. - Bit und Byte verwechseln. - Binärdarstellung und Hexadezimaldarstellung verwechseln. --- **Quellen** - IT-Handbuch für Fachinformatiker # 2.11 Einerkomplement **Definition** Das **Einerkomplement** ist eine Darstellungsform für negative Binärzahlen. Dabei werden alle Bits einer positiven Binärzahl umgekehrt. --- **Grundprinzip** | Bit | Einerkomplement | |-----|-----------------| | 0 | 1 | | 1 | 0 | --- **Beispiel** Positive Binärzahl: **0101** Einerkomplement: **1010** --- **Vorzeichen** Beim Einerkomplement zeigt das höchstwertige Bit das Vorzeichen an. | Höchstwertiges Bit | Bedeutung | |--------------------|-----------| | 0 | positive Zahl | | 1 | negative Zahl | --- **Besonderheit** Beim Einerkomplement gibt es zwei Darstellungen für die Null: - +0 - -0 --- **Merksatz** Beim Einerkomplement werden alle Bits invertiert. --- **Prüfungshinweis** Das Einerkomplement ist wichtig als Grundlage zum Verständnis des **Zweierkomplements**. Typische Fehler: - Einerkomplement und Zweierkomplement verwechseln. - Beim Einerkomplement wird nur invertiert. - Beim Zweierkomplement wird zusätzlich **1 addiert**. --- **Quellen** - IT-Handbuch für Fachinformatiker # 2.12 Zweierkomplement **Definition** Das **Zweierkomplement** ist eine Darstellungsform für negative Binärzahlen. Es wird häufig verwendet, um **positive und negative ganze Zahlen** im Computer darzustellen. --- **Bildung des Zweierkomplements** 1. Positive Binärzahl bilden 2. Alle Bits invertieren 3. **1 addieren** --- **Beispiel** Positive Zahl: **0101** Bits invertieren: **1010** 1 addieren: **1011** --- **Vorzeichen** | Höchstwertiges Bit | Bedeutung | |--------------------|-----------| | 0 | positive Zahl | | 1 | negative Zahl | --- **Besonderheit** Im Gegensatz zum Einerkomplement gibt es beim Zweierkomplement nur **eine Darstellung für die Null**. --- **Merksatz** Zweierkomplement = Einerkomplement + 1 --- **Prüfungshinweis** Das Zweierkomplement wird in IHK-Aufgaben häufig zur Darstellung negativer Binärzahlen verwendet. Typische Fehler: - Nur invertieren und die **+1** vergessen. - Einerkomplement und Zweierkomplement verwechseln. - Das höchstwertige Bit als Vorzeichenbit übersehen. --- **Quellen** - IT-Handbuch für Fachinformatiker # 2.13 Gleitkommazahlen **Definition** **Gleitkommazahlen** sind Zahlen mit Nachkommastellen. Sie werden verwendet, wenn sehr kleine oder sehr große Zahlen dargestellt werden müssen. --- **Beispiele** - 3,14 - 0,0005 - 1.000.000 - -12,75 --- **Grundprinzip** Eine Gleitkommazahl besteht vereinfacht aus: | Bestandteil | Bedeutung | |------------|-----------| | Vorzeichen | positiv oder negativ | | Mantisse | eigentliche Ziffernfolge | | Exponent | Verschiebung des Kommas | --- **Bedeutung** Gleitkommazahlen werden häufig verwendet für: - Messwerte - wissenschaftliche Berechnungen - Grafikberechnungen - Audio- und Bildverarbeitung --- **Besonderheit** Gleitkommazahlen können Rundungsfehler verursachen, weil nicht jede Dezimalzahl exakt binär dargestellt werden kann. --- **Merksatz** Gleitkommazahlen dienen zur Darstellung von Zahlen mit Nachkommastellen. --- **Prüfungshinweis** Gleitkommazahlen sind nicht immer exakt. Bei Berechnungen können Rundungsfehler entstehen. Typische Fehler: - Gleitkommazahlen mit Ganzzahlen verwechseln. - Rundungsfehler nicht beachten. - Mantisse und Exponent verwechseln. --- **Quellen** - IT-Handbuch für Fachinformatiker - IEEE 754