Kapitel 2 – Digitale Grundlagen 2.1 Zahlensysteme Definition Ein Zahlensystem beschreibt, wie Zahlen mit bestimmten Zeichen dargestellt werden. In der Informationstechnik sind vor allem Stellenwertsysteme wichtig. Wichtige Zahlensysteme Zahlensystem Basis Ziffern Dezimalsystem 10 0–9 Binärsystem 2 0–1 Oktalsystem 8 0–7 Hexadezimalsystem 16 0–9 und A–F Dezimalsystem Das Dezimalsystem ist das im Alltag verwendete Zahlensystem. Basis: 10 Ziffern: 0 bis 9 Binärsystem Das Binärsystem wird in der Digitaltechnik verwendet. Basis: 2 Ziffern: 0 und 1 Hexadezimalsystem Das Hexadezimalsystem wird häufig zur kompakten Darstellung von Binärzahlen verwendet. Basis: 16 Ziffern: 0 bis 9 und A bis F Merksatz Computer arbeiten intern mit Binärzahlen . Menschen verwenden meist Dezimalzahlen . Hexadezimalzahlen sind eine kompakte Schreibweise für Binärzahlen. Prüfungshinweis In IHK-Aufgaben müssen häufig Zahlen zwischen Dezimal , Binär und Hexadezimal umgerechnet werden. Quellen IT-Handbuch für Fachinformatiker 2.2 Binärsystem Definition Das Binärsystem ist ein Zahlensystem mit der Basis 2 . Es verwendet nur zwei Ziffern: 0 1 Bedeutung Das Binärsystem ist die Grundlage der digitalen Datenverarbeitung. Computer arbeiten intern mit zwei Zuständen: Zustand Bedeutung 0 aus / falsch / kein Signal 1 ein / wahr / Signal Stellenwerte Im Binärsystem haben die Stellen die Werte von Zweierpotenzen. Stelle Wert 2⁷ 128 2⁶ 64 2⁵ 32 2⁴ 16 2³ 8 2² 4 2¹ 2 2⁰ 1 Beispiel Binärzahl: 1010₂ Berechnung: 8 + 0 + 2 + 0 = 10₁₀ Merksatz Binärzahlen bestehen nur aus 0 und 1 . Prüfungshinweis Bei Umrechnungen immer von rechts nach links mit 2⁰ beginnen. Quellen IT-Handbuch für Fachinformatiker 2.3 Oktalsystem Definition Das Oktalsystem ist ein Zahlensystem mit der Basis 8 . Es verwendet acht Ziffern: 0 1 2 3 4 5 6 7 Bedeutung Das Oktalsystem wird in der Informatik seltener verwendet als das Binär- oder Hexadezimalsystem. Es kann zur kompakten Darstellung von Binärzahlen genutzt werden. Stellenwerte Im Oktalsystem haben die Stellen die Werte von Achterpotenzen. Stelle Wert 8³ 512 8² 64 8¹ 8 8⁰ 1 Beispiel Oktalzahl: 17₈ Berechnung: 1 × 8 + 7 × 1 = 15₁₀ Binärbezug Eine Oktalstelle entspricht genau 3 Bit . Oktal Binär 0 000 1 001 2 010 3 011 4 100 5 101 6 110 7 111 Merksatz Das Oktalsystem hat die Basis 8 und verwendet nur die Ziffern 0 bis 7 . Prüfungshinweis Die Ziffer 8 gibt es im Oktalsystem nicht. Wenn eine Zahl eine 8 oder 9 enthält, kann sie keine gültige Oktalzahl sein. Quellen IT-Handbuch für Fachinformatiker 2.4 Hexadezimalsystem Definition Das Hexadezimalsystem ist ein Zahlensystem mit der Basis 16 . Es verwendet sechzehn Zeichen: 0 bis 9 A bis F Hexadezimale Ziffern Dezimal Hexadezimal 10 A 11 B 12 C 13 D 14 E 15 F Bedeutung Das Hexadezimalsystem wird häufig verwendet, um Binärzahlen kürzer und übersichtlicher darzustellen. Typische Anwendungen: Speicheradressen MAC-Adressen IPv6-Adressen Farbwerte Maschinencode Stellenwerte Im Hexadezimalsystem haben die Stellen die Werte von Sechzehnerpotenzen. Stelle Wert 16³ 4096 16² 256 16¹ 16 16⁰ 1 Beispiel Hexadezimalzahl: 1A₁₆ Berechnung: 1 × 16 + 10 × 1 = 26₁₀ Binärbezug Eine Hexadezimalstelle entspricht genau 4 Bit . Hex Binär 0 0000 1 0001 2 0010 3 0011 4 0100 5 0101 6 0110 7 0111 8 1000 9 1001 A 1010 B 1011 C 1100 D 1101 E 1110 F 1111 Merksatz Das Hexadezimalsystem hat die Basis 16 . Eine Hexadezimalstelle entspricht 4 Bit . Prüfungshinweis A bis F stehen für die Dezimalwerte 10 bis 15 . Die Ziffernfolge 10₁₆ entspricht nicht zehn, sondern 16₁₀ . Quellen IT-Handbuch für Fachinformatiker 2.5 Umrechnung von Zahlensystemen Definition Bei der Umrechnung von Zahlensystemen wird eine Zahl von einem Zahlensystem in ein anderes übertragen. Wichtige Zahlensysteme: Dezimalsystem Binärsystem Oktalsystem Hexadezimalsystem Dezimal in Binär Die Dezimalzahl wird wiederholt durch 2 geteilt. Die Reste werden von unten nach oben gelesen. Beispiel 13₁₀ = 1101₂ Binär in Dezimal Die Stellenwerte der gesetzten Bits werden addiert. Beispiel 1101₂ 8 + 4 + 0 + 1 = 13₁₀ Binär in Hexadezimal Die Binärzahl wird von rechts nach links in 4er-Gruppen eingeteilt. Beispiel 1101₂ = D₁₆ 1111 0000₂ = F0₁₆ Hexadezimal in Binär Jede Hexadezimalstelle wird in 4 Bit umgewandelt. Beispiel A₁₆ = 1010₂ F₁₆ = 1111₂ Oktal und Binär Eine Oktalstelle entspricht genau 3 Bit . Beispiel 7₈ = 111₂ Merksatz Binär ↔ Hexadezimal: immer in 4 Bit gruppieren. Binär ↔ Oktal: immer in 3 Bit gruppieren. Dezimal ↔ anderes System: mit der Basis rechnen. Prüfungshinweis Bei IHK-Aufgaben werden besonders häufig Binär , Dezimal und Hexadezimal umgerechnet. Typische Fehler: Reste in falscher Reihenfolge lesen. 4er-Gruppen beim Hexadezimalsystem falsch setzen. A bis F falsch zuordnen. Fehlende Nullen beim Gruppieren vergessen. Quellen IT-Handbuch für Fachinformatiker 2.6 Bit und Byte Definition Ein Bit ist die kleinste Informationseinheit in der Informatik. Ein Bit kann zwei Zustände annehmen: 0 1 Ein Byte besteht aus 8 Bit . Einheiten Einheit Bedeutung Bit kleinste Informationseinheit Byte 8 Bit Kilobyte 1.000 Byte Megabyte 1.000 Kilobyte Gigabyte 1.000 Megabyte Terabyte 1.000 Gigabyte Bit und Byte Schreibweise Bedeutung b Bit B Byte Beispiel 1 Byte = 8 Bit 10 Byte = 80 Bit 100 MBit/s = 12,5 MB/s Merksatz b = Bit B = Byte 1 Byte = 8 Bit Prüfungshinweis In IHK-Aufgaben wird häufig zwischen Bit und Byte unterschieden. Typische Fehler: MBit/s mit MB/s verwechseln. Kleines b und großes B verwechseln. Bei Datenraten die Umrechnung durch 8 vergessen. Quellen IT-Handbuch für Fachinformatiker 2.7 SI- und Binärpräfixe Definition Präfixe werden verwendet, um große Datenmengen kompakt darzustellen. In der Informationstechnik wird zwischen SI-Präfixen und Binärpräfixen unterschieden. SI-Präfixe SI-Präfixe basieren auf dem Dezimalsystem. Einheit Abkürzung Wert Kilobyte kB 1.000 Byte Megabyte MB 1.000.000 Byte Gigabyte GB 1.000.000.000 Byte Terabyte TB 1.000.000.000.000 Byte Binärpräfixe Binärpräfixe basieren auf Zweierpotenzen. Einheit Abkürzung Wert Kibibyte KiB 1.024 Byte Mebibyte MiB 1.048.576 Byte Gibibyte GiB 1.073.741.824 Byte Tebibyte TiB 1.099.511.627.776 Byte Vergleich Dezimal Binär kB = 1.000 Byte KiB = 1.024 Byte MB = 1.000² Byte MiB = 1.024² Byte GB = 1.000³ Byte GiB = 1.024³ Byte TB = 1.000⁴ Byte TiB = 1.024⁴ Byte Merksatz kB, MB, GB, TB = dezimal KiB, MiB, GiB, TiB = binär 1 Byte = 8 Bit Prüfungshinweis In IHK-Aufgaben genau auf die Einheit achten. Typische Fehler: GB mit GiB verwechseln. MB mit MiB verwechseln. Bit und Byte verwechseln. Umrechnung durch 8 vergessen. Quellen IT-Handbuch für Fachinformatiker IEC 60027-2 2.8 ASCII Definition ASCII steht für American Standard Code for Information Interchange . ASCII ist eine Zeichencodierung zur Darstellung von Zeichen in Computersystemen. Grundprinzip Jedes Zeichen wird durch eine Zahl dargestellt. Beispiele: Zeichen Dezimalwert A 65 B 66 a 97 0 48 Leerzeichen 32 Umfang Der ursprüngliche ASCII-Code verwendet 7 Bit . Damit können dargestellt werden: 2⁷ = 128 Zeichen Zeichenarten ASCII enthält unter anderem: Buchstaben Ziffern Satzzeichen Steuerzeichen Beispiele für Steuerzeichen Steuerzeichen Bedeutung LF Line Feed / Zeilenvorschub CR Carriage Return / Wagenrücklauf ESC Escape Merksatz ASCII ist eine Zeichencodierung mit 7 Bit und umfasst 128 Zeichen . Prüfungshinweis ASCII ist nicht dasselbe wie Unicode. ASCII ist kleiner und kann viele internationale Zeichen nicht darstellen. Quellen IT-Handbuch für Fachinformatiker ISO/IEC 646 2.9 Unicode Definition Unicode ist ein internationaler Standard zur Darstellung von Zeichen. Unicode kann Zeichen aus vielen verschiedenen Sprachen und Schriftsystemen darstellen. Bedeutung Unicode wurde entwickelt, um die Einschränkungen älterer Zeichencodierungen wie ASCII zu überwinden. ASCII kann nur 128 Zeichen darstellen. Unicode kann deutlich mehr Zeichen darstellen. Beispiele für Unicode-Zeichen Zeichen Bedeutung A lateinischer Großbuchstabe ä deutscher Umlaut € Euro-Zeichen Ω griechischer Buchstabe Omega UTF-8 UTF-8 ist eine häufig verwendete Codierung für Unicode-Zeichen. Eigenschaften: kompatibel zu ASCII variable Zeichenlänge weit verbreitet im Web Vergleich ASCII und Unicode ASCII Unicode 7 Bit deutlich größerer Zeichenvorrat 128 Zeichen viele Schriftsysteme vor allem englische Zeichen internationale Zeichen keine Umlaute im ursprünglichen ASCII Umlaute und Sonderzeichen möglich Merksatz Unicode ist ein Standard für internationale Zeichen. UTF-8 ist eine Codierung für Unicode. Prüfungshinweis Unicode und UTF-8 dürfen nicht gleichgesetzt werden. Unicode = Zeichensatz / Standard UTF-8 = Codierung Quellen IT-Handbuch für Fachinformatiker The Unicode Standard 2.10 Datendarstellung Definition Datendarstellung beschreibt, wie Informationen in einem Computersystem gespeichert und verarbeitet werden. Computer speichern Daten intern als Binärwerte . Grundprinzip Alle Daten werden im Computer als Folge von 0 und 1 dargestellt. Dazu gehören: Zahlen Buchstaben Bilder Audio Programme Beispiele Datentyp Darstellung im Computer Zahl Binärzahl Text Zeichencodierung Bild Pixelwerte Audio digitale Abtastwerte Programm Maschinenbefehle Codierung Damit Daten verarbeitet werden können, müssen sie codiert werden. Beispiele: ASCII Unicode UTF-8 Binärzahlen Hexadezimalzahlen Merksatz Computer verarbeiten intern keine Buchstaben oder Bilder direkt, sondern Binärdaten . Prüfungshinweis In IHK-Aufgaben wird häufig gefragt, wie Zeichen, Zahlen oder Datenmengen digital dargestellt werden. Typische Fehler: Zeichen mit Zeichencodierung verwechseln. Bit und Byte verwechseln. Binärdarstellung und Hexadezimaldarstellung verwechseln. Quellen IT-Handbuch für Fachinformatiker 2.11 Einerkomplement Definition Das Einerkomplement ist eine Darstellungsform für negative Binärzahlen. Dabei werden alle Bits einer positiven Binärzahl umgekehrt. Grundprinzip Bit Einerkomplement 0 1 1 0 Beispiel Positive Binärzahl: 0101 Einerkomplement: 1010 Vorzeichen Beim Einerkomplement zeigt das höchstwertige Bit das Vorzeichen an. Höchstwertiges Bit Bedeutung 0 positive Zahl 1 negative Zahl Besonderheit Beim Einerkomplement gibt es zwei Darstellungen für die Null: +0 -0 Merksatz Beim Einerkomplement werden alle Bits invertiert. Prüfungshinweis Das Einerkomplement ist wichtig als Grundlage zum Verständnis des Zweierkomplements . Typische Fehler: Einerkomplement und Zweierkomplement verwechseln. Beim Einerkomplement wird nur invertiert. Beim Zweierkomplement wird zusätzlich 1 addiert . Quellen IT-Handbuch für Fachinformatiker 2.12 Zweierkomplement Definition Das Zweierkomplement ist eine Darstellungsform für negative Binärzahlen. Es wird häufig verwendet, um positive und negative ganze Zahlen im Computer darzustellen. Bildung des Zweierkomplements Positive Binärzahl bilden Alle Bits invertieren 1 addieren Beispiel Positive Zahl: 0101 Bits invertieren: 1010 1 addieren: 1011 Vorzeichen Höchstwertiges Bit Bedeutung 0 positive Zahl 1 negative Zahl Besonderheit Im Gegensatz zum Einerkomplement gibt es beim Zweierkomplement nur eine Darstellung für die Null . Merksatz Zweierkomplement = Einerkomplement + 1 Prüfungshinweis Das Zweierkomplement wird in IHK-Aufgaben häufig zur Darstellung negativer Binärzahlen verwendet. Typische Fehler: Nur invertieren und die +1 vergessen. Einerkomplement und Zweierkomplement verwechseln. Das höchstwertige Bit als Vorzeichenbit übersehen. Quellen IT-Handbuch für Fachinformatiker 2.13 Gleitkommazahlen Definition Gleitkommazahlen sind Zahlen mit Nachkommastellen. Sie werden verwendet, wenn sehr kleine oder sehr große Zahlen dargestellt werden müssen. Beispiele 3,14 0,0005 1.000.000 -12,75 Grundprinzip Eine Gleitkommazahl besteht vereinfacht aus: Bestandteil Bedeutung Vorzeichen positiv oder negativ Mantisse eigentliche Ziffernfolge Exponent Verschiebung des Kommas Bedeutung Gleitkommazahlen werden häufig verwendet für: Messwerte wissenschaftliche Berechnungen Grafikberechnungen Audio- und Bildverarbeitung Besonderheit Gleitkommazahlen können Rundungsfehler verursachen, weil nicht jede Dezimalzahl exakt binär dargestellt werden kann. Merksatz Gleitkommazahlen dienen zur Darstellung von Zahlen mit Nachkommastellen. Prüfungshinweis Gleitkommazahlen sind nicht immer exakt. Bei Berechnungen können Rundungsfehler entstehen. Typische Fehler: Gleitkommazahlen mit Ganzzahlen verwechseln. Rundungsfehler nicht beachten. Mantisse und Exponent verwechseln. Quellen IT-Handbuch für Fachinformatiker IEEE 754